형식적 스킴

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 아핀 형식적 스킴
- 2.2. 일반적 형식적 스킴
3. 성질
4. 형식적 스킴 사이의 사상
5. 예
6. 역사
- 6.1. 오스카 자리스키의 초기 연구
- 6.2. 알렉산더 그로텐디크의 재정의
참조

1. 개요

형식적 스킴은 국소적으로 아핀 형식적 스킴과 동형인 환 달린 공간이다. 아핀 형식적 스킴은 뇌터 가환환과 그 아이디얼을 사용하여 정의되며, 형식적 스킴은 일반적으로 뇌터 스킴인 경우에만 정의된다. 형식적 스킴은 아핀 스킴과 스킴, 유클리드 공간과 매끄러운 다양체의 관계와 유사하다. 형식적 스킴 사이의 사상은 국소 환 달린 공간으로서의 사상이며, 정의 아이디얼을 갖는 경우 아딕 사상이라고 한다. 형식적 스킴의 예시로는 자명환, 형식적 멱급수, 국소 뇌터 스킴 등이 있으며, 닫힌 부분 스킴의 형식적 완비화도 형식적 스킴을 이룬다. 형식적 스킴의 개념은 오스카 자리스키에 의해 처음 도입되었고, 알렉산더 그로텐디크에 의해 스킴의 언어로 재정의되었다.

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형식적 스킴
수학적 정보
종류	수학적 공간

2. 정의

형식적 스킴은 일반적으로 뇌터인 경우에만 정의된다. 비-뇌터 형식적 스킴에 대한 여러 정의가 있었지만, 기술적인 문제에 직면한다. 따라서 국소 뇌터 형식적 스킴만 정의한다.

모든 환은 가환이고 단위를 갖는다고 가정한다. ''A''를 (뇌터) 위상환이라고 하자. 즉, 덧셈과 곱셈 연산이 연속적인 위상 공간인 환 ''A''이다. ''A''는 0이 기저를 갖는 선형 위상을 가진다. 이 기저는 아이디얼로 구성된다. 선형 위상이 주어진 환에 대한 '''정의 아이디얼''' $\mathcal{J}$ 는 0의 모든 열린 근방 ''V''에 대해 $\mathcal{J}^n \subseteq V$ 가 되는 양의 정수 ''n''이 존재하는 열린 아이디얼이다. 선형 위상이 주어진 환은 정의 아이디얼을 허용하면 '''사전 허용'''이며, 또한 완비되면 '''허용'''된다. (부르바키의 용어로는 "완비되고 분리된" 것이다.)

''A''가 허용 가능하다고 가정하고 $\mathcal{J}$ 를 정의 아이디얼이라고 하자. 소 아이디얼이 열린 것은 $\mathcal{J}$ 를 포함하는 경우에만 해당한다. ''A''의 열린 소 아이디얼의 집합, 또는 동등하게 $A/\mathcal{J}$ 의 소 아이디얼 집합은 ''A''의 '''형식적 스펙트럼'''의 기저 위상 공간이며, Spf ''A''로 표시된다. Spf ''A''는 환의 스펙트럼의 구조층을 사용하여 정의된 구조층을 갖는다. $\mathcal{J}_\lambda$ 를 정의 아이디얼로 구성된 0의 근방 기저라고 하자. $A/\mathcal{J}_\lambda$ 의 모든 스펙트럼은 동일한 기저 위상 공간을 갖지만 다른 구조층을 갖는다. Spf ''A''의 구조층은 사영 극한 $\varprojlim_\lambda \mathcal{O}_{\text{Spec} A/\mathcal{J}_\lambda}$ 이다.

''f'' ∈ ''A''이고 ''D''_''f''가 ''f''를 포함하지 않는 모든 열린 소 아이디얼의 집합인 경우, $\mathcal{O}_{\text{Spf} A}(D_f) = \widehat{A_f}$ 임을 보일 수 있다. 여기서 $\widehat{A_f}$ 는 국소화 ''A''_''f''의 완비이다.

'''국소 뇌터 형식적 스킴'''은 각 점 $\mathfrak{X}$ 이 뇌터 환의 형식적 스펙트럼과 동형인 (위상적으로 환으로 표현된 공간으로서) 열린 근방을 허용하는 위상적으로 환이 주어진 공간 $(\mathfrak{X}, \mathcal{O}_{\mathfrak{X}})$ 이다.

2. 1. 아핀 형식적 스킴

뇌터 가환환 A의 아이디얼 \mathfrak I \subseteq A가 주어졌을 때, 완비화 \hat A = \varprojlim A / \mathfrak I^n을 정의할 수 있다. 즉, 다음과 같은 환 준동형들이 존재한다.

:0 = A / \mathfrak I^0 \leftarrow A/\mathfrak I \leftarrow A/\mathfrak I^2 \leftarrow \dotsb \leftarrow\hat A \leftarrow A

이 경우, 환의 스펙트럼을 취하면 다음과 같다.

:\operatorname{Spec} (A/\mathfrak I) \leftarrow \operatorname{Spec} (A/\mathfrak I^2) \leftarrow \dotsb \leftarrow \operatorname{Spec}\hat A \leftarrow \operatorname{Spec}A

\operatorname{Spec}A를 제외하면, 나머지는 모두 위상 동형이다. (물론, 이들은 환 달린 공간으로서 서로 다르다.)

환 달린 공간 \operatorname{Spf}\hat A는 다음과 같이 정의한다.

위상 공간으로서 \operatorname{Spf}\hat A는 (임의의 n\in\mathbb Z^+에 대하여) \operatorname{Spec}(A/\mathfrak i^n)과 위상 동형이다.
\operatorname{Spf}\hat A의 구조층은 가환환층의 사영 극한 \varprojlim_n \mathcal O_{\operatorname{Spec}(A/\mathfrak I^n)}이다.

이 구성은 A와 \mathfrak I에 의존하는 것처럼 보이지만, 사실 이는 \hat A의 위상환 구조에만 의존한다. 즉, \hat A와 동형인 위상환을 정의하는 (A,\mathfrak I')을 사용하더라도 동형인 환 달린 공간을 얻는다.

임의의 아이디얼 I와 링 A에 대해, 집합 a+I^n의 형식을 갖는 기저로 정의되는 A에 대한 I-adic 위상을 정의할 수 있다. 이는 사전 허용 가능하며, A가 I-adic 완비인 경우 허용 가능하다. 이 경우 Spf A는 Spec A/I의 위상 공간이며, 링의 층은 \text{lim}_n \mathcal{O}_{\text{Spec} A/I^n}=\lim_n \widetilde{A/I^n}이다.

2. 2. 일반적 형식적 스킴

환 달린 공간이며, 임의의 점이 아핀 형식적 스킴과 동형인 열린 근방을 갖는다. 아핀 형식적 스킴과 형식적 스킴의 관계는 아핀 스킴과 스킴, 또는 유클리드 공간과 매끄러운 다양체의 관계와 유사하다.

3. 성질

뇌터 가환환의 아이디얼 $\mathfrak I \subseteq A$ 에 대한 완비화 $\hat A = \varprojlim_{n\to\infty}A/\mathfrak I^n$ 은 자연스럽게 다음 집합을 기저로 갖는 위상을 가진다.

: $\{a + \mathfrak I^n \colon a\in \hat A,\;n\in\mathbb N\}$

이 위상에 따라 $\hat A$ 는 위상환을 이룬다. $\operatorname{Spf}\hat A$ 의 점들은 $\hat A$ 의 소 아이디얼 가운데 열린집합인 것들이다.

임의의 열린집합 $U \subseteq \operatorname{Spf}\hat A$ 에 대하여, 구조층의 단면은 다음과 같다.

: $\Gamma(U,\mathcal O_{\operatorname{Spf}\hat A}) = \varprojlim_{n\to\infty} \Gamma(U,\mathcal O_{\operatorname{Spec}(A/\mathfrak I^n)})$

4. 형식적 스킴 사이의 사상

국소 뇌터 형식적 스킴의 사상 $f: \mathfrak{X} \to \mathfrak{Y}$ 는 국소 환 달린 공간으로서의 사상이며, 유도된 사상 $f^{\#}: \Gamma(U, \mathcal{O}_\mathfrak{Y}) \to \Gamma(f^{-1}(U), \mathcal{O}_\mathfrak{X})$ 가 임의의 아핀 열린 집합 ''U''에 대해 위상 환의 연속 준동형사상이 되도록 한다.

''f''가 ''아딕'' 또는 '' $\mathfrak{X}$ 는 $\mathfrak{Y}$ -아딕 형식적 스킴''이라고 함은 정의 아이디얼 $\mathcal{I}$ 가 존재하여 $f^*(\mathcal{I}) \mathcal{O}_\mathfrak{X}$ 가 $\mathfrak{X}$ 의 정의 아이디얼이 되도록 하는 것이다. ''f''가 아딕이면, 이 성질은 모든 정의 아이디얼에 대해 성립한다.

5. 예

''A=kt''이고 ''I=(t)''인 경우, ''A/I=k''이므로 공간 ''Spf A''는 구조층이 값 ''kt''를 갖는 단일 점 ''(t)''이다. 이는 구조층이 이 점에서 값 ''k''를 갖는 ''Spec A/I''와 비교된다. 이는 ''Spf A''가 ''I''에 대해 ''A''의 '형식적인 두껍게 하기'라는 개념을 보여주는 예시이다.
닫힌 부분 스킴의 형식적 완비화의 경우, 아이디얼 ''I=(y²-x³)''로 정의된 ''k'' 위의 아핀 평면의 닫힌 부분 스킴 ''X''를 생각할 수 있다. 여기서 ''A₀=k[x,y]''는 ''I''-adic 완비가 아니다. ''A''를 그것의 ''I''-adic 완비라고 하면, 공간으로서 ''Spf A=X''이고 구조층은 $\lim_n \widetilde{k[x,y]/I^n}$ 이다. 전역 단면은 ''A''인 반면, ''X''의 전역 단면은 ''A/I''이다.

5. 1. 자명환

자명환 0은 (이산 공간으로) 위상환을 이루며, 이 위상은 영 아이디얼 (0)으로 정의된다. 그 형식적 스펙트럼은 공집합이다.

:

\operatorname{Spf}0 = \varnothing

5. 2. 형식적 멱급수

뇌터 가환환 K가 주어졌을 때, 다항식환 A = K[x]의 아이디얼

\mathfrak I = (x)

에 대한 완비화는 형식적 멱급수환이다.

:

\varprojlim_{n\to\infty} K[x]/(x^n) = Kx

위상환으로서, 이는 이산 공간으로 간주한 K의 가산 무한 곱집합과 위상 동형이다. 이에 대한 형식적 스펙트럼

\operatorname{Spf} Kx

을 취할 수 있다. K가 체인 경우,

\operatorname{Spf} Kx = \{(x)\}

는 한원소 집합이다. 구조층의 단면 대수는

\Gamma(\mathcal O_{\operatorname{Spf}Kx}) = Kx

이다.

5. 3. 국소 뇌터 스킴

임의의 가환환

R

을 이산 공간으로 간주할 수 있다. 이는 영 아이디얼에 대한 완비화로 생각할 수 있다.

만약

R

가 이산 뇌터 가환환이라면, 그 형식적 스펙트럼은 스펙트럼과 (환 달린 공간으로서) 같다.

보다 일반적으로, 모든 국소 뇌터 스킴은 형식적 스킴을 이룬다.

5. 4. 닫힌 부분 스킴의 완비화

국소 뇌터 스킴

X

와 그 닫힌 부분 스킴

Y \hookrightarrow X

가 주어졌을 때,

Y

의 위상 공간 위에 다음과 같은 가환환층을 부여할 수 있다.^[1]

:

\mathcal O_{\hat Y} = \varprojlim_{n\to\infty} \mathcal O_X/\mathfrak I^n

여기서

\mathfrak I

는

Y

를 정의하는 아이디얼층이다. 이렇게 얻어진

\hat Y=(Y,\mathcal O_{\hat Y})

는 형식적 스킴을 이룬다. 이를 '''

X

의

Y

근처의 형식적 완비화'''(formal completion of

X

along

Y

^영어)라고 한다.

만약

\mathcal I = 0

이면 (즉,

X = Y

인 경우), 원래 스킴

X

를 얻는다.^[1]

6. 역사

오스카 자리스키는 1949년에 "형식적 정칙 함수" 개념을 도입하였고,^[2]^[3] 알렉산더 그로텐디크는 이를 스킴 언어로 재정의하여 형식적 스킴 개념을 정의하였다.

6. 1. 오스카 자리스키의 초기 연구

오스카 자리스키가 1949년에 “형식적 정칙 함수”의 개념을 도입하였다.^[2]^[3] 이는 오늘날 형식적 완비화의 구조층의 단면에 해당한다.

6. 2. 알렉산더 그로텐디크의 재정의

오스카 자리스키는 1949년에 “형식적 정칙 함수”의 개념을 도입하였다.^[2]^[3] (이는 오늘날 형식적 완비화의 구조층의 단면에 해당한다.) 이후 알렉산더 그로텐디크는 자리스키의 개념을 스킴의 언어로 재정의하여 형식적 스킴의 개념을 정의하였다.

참조

_[1] 서적 Algebraic geometry Springer-Verlag 1977
_[2] 저널 A fundamental lemma from the theory of holomorphic functions on an algebraic variety
_[3] 저널 Theory and applications of holomorphic functions on algebraic varieties over arbitrary ground fields

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